La medida (de lebesgue) en los reales es lo que usualmente entendemos como longitud, de decir, la medida de un intervalo [a,b] sería la diferencia b-a. En el plano, la medida de un rectángulo sería la longitud de su base por la altura, y así cualquier polígono podría ser dividido en partes con áreas conocidas, y cuya suma sería la medida de la figura.
¿Pero todo conjunto es medible?
recordando que una aplicación de la integral es el área bajo la curva, y como sabemos que hay funciones que no son integrables (Rienman), quizás podemos responder a la pregunta y decir: Hay conjuntos que no tienen medida.
¿Pero cuándo decimos que un conjunto es medible?, ¿cómo medir conjuntos "extraños? ¿y cómo definimos nuestra integral?
¿quizás la integral usual es un caso particular de otra?
y si es así, vuelve a ser interesante la pregunta:
¿todo conjunto es medible?
Este problema es desarrolado en el artículo La integral de Lebesgue un poco más de cien años después donde se muestran a modo de motivación (es decir, en palabras simples), además otros conceptos de teoría de la medida y la integral de lebesgue, y aplicaciones en las áreas de análisis de Fourier, cálculo de primitivas, convergencia de series trigonométricas, probabilidades y análisis funcional.